ドミニオン、２－５と３－４パターンはどのくらい？

　hiho!

　ドミニオンをやると、最初の一喜一憂は、初めにドローした手札の結果で起きます。

　初めに銅貨＝１価値が、何枚入るかで、次のターンの銅貨枚数が決まります。

　ドミニオンをまだプレーしていない人のために説明すると、このゲームは毎回、自分のデッキ＝持ち札から、枚ターン５枚をドロー＝引き、それを手札にします。自分が使ったものは、自分の捨て山に送って、ドローするカードが足りなくなったら、捨て山をシャッフルし、新しい山札にして、そこからドローします。つまり、他のプレーヤーとデッキを混ぜないわけです。

　初めのデッキは全員同じです。得点カードが３枚、これはゲーム中には全くの役立たずです。それと、銅貨が７枚です。計１０枚ですね。

　財宝＝コインカードは３種類、金、銀、銅で、それぞれ３，２，１価値を持っています。手札中のコインカードと、そのターンの購入金額を上げるボーナスのついたアクションカードをプレイし、その合計金額で、新しいカードを購入します。その、購入したカードはデッキに加えることで、自分のデッキを成長させていきます。

　初めのターンに戻りますね。

　初めのターンに自分のデッキ１０枚のうち、５枚が手札に入ります。毎ターン、購入したカードはいったん捨て山に入りますから、２ターン目は残りの５枚が手札に入ります。

　すると、購入するにあたって価値のないカードが３枚と、１価値のカードが７枚ですから、組み合わせとしては２－５，５－２，３－４，４－３の購入価値のパターンになるわけです。

　２ターン目には特殊な行動のできるアクションカードは手札に入りませんから、２－５と５－２は同じことです。同様に３－４と４－３も同じです。１ターンと２ターンは買い物だけです。カードも十分あり、売り切れることはありませんから、バーゲンセール時期に放送される主婦のような殺到シーンはありません。

　購入できるカードは財宝＝コインが３種類、ゲームの勝敗を決める得点カードが３種類、それと特殊な行動やボーナスがついている王国カードが１０種類です。王国カードは全部で２５種類ですが、その中の１０種類をゲーム開始時に選択して使用するわけですね。

　で、何十回もプレーすると、どうも２－５パターンより、３－４パターンの方が多いと経験から気づくわけです。

　そこで、確率は高校の時にちょっとかじっただけで、忘れているこのおじさんが、どのくらいか考えてみようというわけです。

　まず、全部で何通りあるか考えてみましょう。

　どうやって考えようか、そこからスタートです。

　まず、１０枚のカードの位置を考えてみましょう。それぞれに番号を振ってみます。

　1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

　それぞれに得点カードが銅カードが入るわけです。得点をx、銅カードをoとしてみましょう。一例ですが

　1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
　o o o o o o o x x x

　また、別のパターンで

　1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
　o o x o o x o o x o

　など、いくらでも考えられます。

　ここで、xに注目しましょう。すると、全部で１０個のうち３つに×をつけるパターンです。要は１から１０の数字のうち３つを選ぶのと同じことに気づきます。

　ならば、全部で何通りあるのか考えましょう。

　まず、１番目の数字ですが１から１０の数字１０個のうちどれでも一つ、取りだせるわけですから、１０通りあります。

　次の２番目の数字は、１番目で１つ選ばれているわけですから、残りの９個です。９通りですね。

　３番目は、既に２つ選ばれているわけですから、残りの８個、つまり８通りです。

　１０個の数字のうち、３つの数字を取り出して、順番に並べるのは

　１０通り×９通り×８通り　＝　７２０通りです。

　まあ、この程度なら、今日は休みになったし、一日かければ数え上げられ……..きつい。

　ところがです。例えば、選んだ数字が１，２，３の３つだとして

1. 1-2-3
2. 1-3-2
3. 2-1-3
4. 2-3-1
5. 3-1-2
6. 3-2-1

　の６通りは全部以下のパターンです。

　1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
　x x x o o o o o o o

　つまり、どの３つの数字が選ばれても、ダブっているのが６通りありますから、実際は

　１０通り×９通り×８通り÷６通り　＝　１２０通りになります。

　この程度なら、全通り数え上げても、たいしたことな………つらい。

　そこで、前半の５つと、後半の５つを分けて考えることにしましょう。

　最初は前半に５コインが入るパターンです。

　1 2 3 4 5
　o o o o o　残りは o o と x x x

　５コインパターンになるのは、１通りしかありません。全部銅コインの時ですからね。後半は当然２コインパターンになります。順番に考えますね。

　次は４コインパターンです。

　1 2 3 4 5
　x o o o o
　o x o o o
　o o x o o
　o o o o x　残りは o o o と x x

　実際は、xの位置が一つずつずれていくだけです。５通りしかありません。これも簡単に数えられます。後半は３コインパターンです。

　さて、３コインパターンです。(5x4x3)/(3x2x1)=10と、タネを明かしてしまえば、これも多くありません。数え上げてみましょ。

　1 2 3 4 5
　x x o o o
　x o x o o
　x o o x o
　x o o o x
　o x x o o
　o x o x o
　o x o o x
　o o x x o
　o o x o x
　o o o x x　残りは o o o  oと x

　計算通り１０パターンです。後半は４コインパターンです。既に直前でやりましたね。

　さて２コインパターンですが、３コインパターンのoとxをひっくり返したら、２コインパターンになります。気づきました？

　ですから、通り数も同じです。１０通りです。一応計算すると(5×4)/(2×1)=10です。

　５－２パターンと２－５パターンは同じ通り数だけあります。とりあえず２－５で考えると、

　１０通り（２コインパターン）×１通り（５コインパターン）＝１０通り

　３－４と４－３も同じでしたね。３－４で考えると

　１０通り（３コインパターン） ×５通り（４コインパターン）＝５０通り

　ですから、２－５，５－２コインパターンは10/60=1/6
　３－４，４－３コインパターンは50/60=5/6ですね。

　ああ、なんと、２－５パターンになるのは、サイコロを振って、ある目が出るのと同じ確率でした。

　まあ、経験則と一致しているので、多分あっているでしょう。

　しかし、まあ、なんというか。

　ここまで考えて気づいたのですが、この割合はどう努力しようと、いくら戦略を練ろうと、変更できません。初期デッキ固定で、確率ですからね。神様にお願いするしかないですね。ｗ