ドミニオン、2-5と3-4パターンはどのくらい?

 hiho!

 ドミニオンをやると、最初の一喜一憂は、初めにドローした手札の結果で起きます。

 初めに銅貨=1価値が、何枚入るかで、次のターンの銅貨枚数が決まります。

 ドミニオンをまだプレーしていない人のために説明すると、このゲームは毎回、自分のデッキ=持ち札から、枚ターン5枚をドロー=引き、それを手札にします。自分が使ったものは、自分の捨て山に送って、ドローするカードが足りなくなったら、捨て山をシャッフルし、新しい山札にして、そこからドローします。つまり、他のプレーヤーとデッキを混ぜないわけです。

 初めのデッキは全員同じです。得点カードが3枚、これはゲーム中には全くの役立たずです。それと、銅貨が7枚です。計10枚ですね。

 財宝=コインカードは3種類、金、銀、銅で、それぞれ3,2,1価値を持っています。手札中のコインカードと、そのターンの購入金額を上げるボーナスのついたアクションカードをプレイし、その合計金額で、新しいカードを購入します。その、購入したカードはデッキに加えることで、自分のデッキを成長させていきます。

 初めのターンに戻りますね。

 初めのターンに自分のデッキ10枚のうち、5枚が手札に入ります。毎ターン、購入したカードはいったん捨て山に入りますから、2ターン目は残りの5枚が手札に入ります。

 すると、購入するにあたって価値のないカードが3枚と、1価値のカードが7枚ですから、組み合わせとしては2-5,5-2,3-4,4-3の購入価値のパターンになるわけです。

 2ターン目には特殊な行動のできるアクションカードは手札に入りませんから、2-5と5-2は同じことです。同様に3-4と4-3も同じです。1ターンと2ターンは買い物だけです。カードも十分あり、売り切れることはありませんから、バーゲンセール時期に放送される主婦のような殺到シーンはありません。

 購入できるカードは財宝=コインが3種類、ゲームの勝敗を決める得点カードが3種類、それと特殊な行動やボーナスがついている王国カードが10種類です。王国カードは全部で25種類ですが、その中の10種類をゲーム開始時に選択して使用するわけですね。

 で、何十回もプレーすると、どうも2-5パターンより、3-4パターンの方が多いと経験から気づくわけです。

 そこで、確率は高校の時にちょっとかじっただけで、忘れているこのおじさんが、どのくらいか考えてみようというわけです。

 まず、全部で何通りあるか考えてみましょう。

 どうやって考えようか、そこからスタートです。

 まず、10枚のカードの位置を考えてみましょう。それぞれに番号を振ってみます。

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

 それぞれに得点カードが銅カードが入るわけです。得点をx、銅カードをoとしてみましょう。一例ですが

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 o o o o o o o x x x

 また、別のパターンで

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 o o x o o x o o x o

 など、いくらでも考えられます。

 ここで、xに注目しましょう。すると、全部で10個のうち3つに×をつけるパターンです。要は1から10の数字のうち3つを選ぶのと同じことに気づきます。

 ならば、全部で何通りあるのか考えましょう。

 まず、1番目の数字ですが1から10の数字10個のうちどれでも一つ、取りだせるわけですから、10通りあります。

 次の2番目の数字は、1番目で1つ選ばれているわけですから、残りの9個です。9通りですね。

 3番目は、既に2つ選ばれているわけですから、残りの8個、つまり8通りです。

 10個の数字のうち、3つの数字を取り出して、順番に並べるのは

 10通り×9通り×8通り = 720通りです。

 まあ、この程度なら、今日は休みになったし、一日かければ数え上げられ……..きつい。

 ところがです。例えば、選んだ数字が1,2,3の3つだとして

  1. 1-2-3
  2. 1-3-2
  3. 2-1-3
  4. 2-3-1
  5. 3-1-2
  6. 3-2-1

 の6通りは全部以下のパターンです。

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 x x x o o o o o o o

 つまり、どの3つの数字が選ばれても、ダブっているのが6通りありますから、実際は

 10通り×9通り×8通り÷6通り = 120通りになります。

 この程度なら、全通り数え上げても、たいしたことな………つらい。

 そこで、前半の5つと、後半の5つを分けて考えることにしましょう。

 最初は前半に5コインが入るパターンです。

 1 2 3 4 5
 o o o o o 残りは o o と x x x

 5コインパターンになるのは、1通りしかありません。全部銅コインの時ですからね。後半は当然2コインパターンになります。順番に考えますね。

 次は4コインパターンです。

 1 2 3 4 5
 x o o o o
 o x o o o
 o o x o o
 o o o o x 残りは o o o と x x

 実際は、xの位置が一つずつずれていくだけです。5通りしかありません。これも簡単に数えられます。後半は3コインパターンです。

 さて、3コインパターンです。(5x4x3)/(3x2x1)=10と、タネを明かしてしまえば、これも多くありません。数え上げてみましょ。

 1 2 3 4 5
 x x o o o
 x o x o o
 x o o x o
 x o o o x
 o x x o o
 o x o x o
 o x o o x
 o o x x o
 o o x o x
 o o o x x 残りは o o o  oと x

 計算通り10パターンです。後半は4コインパターンです。既に直前でやりましたね。

 さて2コインパターンですが、3コインパターンのoとxをひっくり返したら、2コインパターンになります。気づきました?

 ですから、通り数も同じです。10通りです。一応計算すると(5×4)/(2×1)=10です。

 5-2パターンと2-5パターンは同じ通り数だけあります。とりあえず2-5で考えると、

 10通り(2コインパターン)×1通り(5コインパターン)=10通り

 3-4と4-3も同じでしたね。3-4で考えると

 10通り(3コインパターン) ×5通り(4コインパターン)=50通り

 ですから、2-5,5-2コインパターンは10/60=1/6
 3-4,4-3コインパターンは50/60=5/6ですね。

 ああ、なんと、2-5パターンになるのは、サイコロを振って、ある目が出るのと同じ確率でした。

 まあ、経験則と一致しているので、多分あっているでしょう。

 しかし、まあ、なんというか。

 ここまで考えて気づいたのですが、この割合はどう努力しようと、いくら戦略を練ろうと、変更できません。初期デッキ固定で、確率ですからね。神様にお願いするしかないですね。w

 

ドミニオン、2-5と3-4パターンはどのくらい?」への1件のフィードバック

  1. 5-2のパータンを考えると少しだけ計算が簡単になりますね
    5枚全部銅の確率は
    1枚目が全10枚中7枚銅なので銅を引く確率は7/10、
    2枚目が残り9枚中6枚銅なので銅を引く確率は6/9、
    3枚目が残り8枚中5枚銅なので銅を引く確率は5/8、
    4枚目が残り7枚中4枚銅なので銅を引く確率は4/7、
    5枚目が残り6枚中3枚銅なので銅を引く確率は3/6、
    全部掛け合わせて約分して・・・1/12
    よって5-2のパターンの確率は1/12、
    2-5のパターンも2ターン目の5枚を先に引いてとっておいてたと考えれば同じ計算式で求まるから1/12、
    足して2/12は約分して1/6
    3-4と4-3のパターンは全体の確率1から5-2パターンの確率1/6を引いて5/6
    ああ、なんと、計算はあってました。w
    あとは神様にお願いしましょ。w

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